محاسبات عددی
Numerical Computations
| مقطع: کارشناسی | گرایش: نرم‌افزار |
| نوع درس: نظری | تعداد واحد: ۳ |
| پیش‌نیاز: مبانی برنامه‌سازی کامپیوتر، معادلات دیفرانسیل | هم‌نیاز: – |
هدف کلی
هدف از این درس، آشنایی دانشجویان کارشناسی با روش‌های عددی برای حل مسائل علمی رشته‌های مختلف علوم و مهندسی است. این روش‌ها قادرند پاسخ مسائل علمی در رشته‌های مختلف علوم و مهندسی که محاسبه‌ی دقیق آن‌ها با روش‌های معمول ریاضی ممکن نیست، به صورت تقریبی و با خطای محدود، تخمین بزنند. به علاوه در مسائلی که حل آن‌ها با روش‌های معمول ریاضی ممکن بوده ولی از پیچیدگی بسیار بالایی برخوردار است، روش‌های عددی کارآمدی در این درس به دانشجویان آموزش داده می‌شود.
سرفصل‌ها
- آشنایی با ابزارها (۲ جلسه)
- معرفی ابزارهای نرم‌افزاری مورد استفاده، مانند MATLAB یا Python
- محاسبات مربوط به ماتریس‌ها
- بردارها و ترسیم
- فایل‌ها و تعریف توابع
- آشنایی با برخی توابع داخلی ابزار مورد نظر
- خطاها (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر خطاها
- سیستم ممیز شناور
- منشأ خطاها
- خطاهای نسبی و مطلق
- خطاهای گرد کردن، ذاتی و برشی
- انتشار خطا و گراف فرایند
- ناپایداری در محاسبات عددی
- حل عددی معادلات غیرخطی (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر پیدا کردن ریشه‌های تابع تک‌متغیره غیرخطی
- روش تنصیف
- روش نابه‌جایی
- روش وتری یا خط قاطع
- روش نیوتن-رافسون
- روش تکرار ساده یا نقطه ثابت
- نرخ همگرایی روش‌های مختلف
- شرط‌های لازم/کافی برای همگرایی روش‌های نیوتن-رافسون، روش وتری و روش تکرار ساده
- روش هرنر برای محاسبه مقدار چندجمله‌ای
- روش تعمیم‌یافتة نیوتن-رافسون برای حل دستگاه معادلات غیرخطی
- اثبات شهودی و ریاضی روش‌های مذکور
- درون‌یابی، برون‌یابی و برازش منحنی (۵ جلسه)
- مقدمه‌ای بر درون‌یابی، برون‌یابی و برازش منحنی
- روش‌های مختلف درون‌یابی شامل روش لاگرانژ، روش تفاضلات تقسیم‌شده‌ی نیوتن، روش‌های تفاضلات پیشرو، پسرو و مرکزی نیوتن
- اثبات روش‌های مذکور و تحلیل خطا در آن‌ها
- برازش به چندجمله‌ای‌ها توسط روش کمترین مربعات
- برازش به منحنی‌های مختلف با کمک خطی‌سازی
- برون‌یابی
- انتگرال‌گیری و مشتق‌گیری عددی (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر انتگرال‌گیری و مشتق‌گیری عددی
- روش‌های مختلف انتگرال‌گیری عددی شامل روش مستطیلی، روش نقطه میانی، روش ذوزنقه‌ای، روش گاوس-لژاندر، روش سیمپسون ۱/۳ و سیمپسون ۳/۸ و روش رامبرگ
- بررسی میزان خطای روش‌های ذکر شده
- اثبات ریاضی و شهودی برای روش‌های مذکور
- مشتق‌گیری عددی با استفاده از روش‌های مختلف شامل روش نقطه میانی، روش تفاضل مرکزی، روش سه‌نقطه‌ای
- تحلیل مرتبه‌ی خطای روش‌های مذکور و استفاده از مفهوم برون‌یابی ریچاردسون برای بهبود نتایج مشتق‌گیری عددی
- حل معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل
- روش‌های تک‌گامی شامل روش تیلور، روش اویلر، روش اویلر اصلاح شده، روش‌های رانگ-کوتا مرتبه ۲ (روش هیون، نقطه میانی و اصلاح‌شدۀ اویلر)، رانگ-کوتا مرتبه ۳ و رانگ-کوتا مرتبه ۴
- روش‌های چندگامی مانند روش آدامز-مولتون
- تحلیل خطای روش‌های مذکور و مقایسه آن‌ها
- تبدیل معادلات دیفرانسیل درجات بالاتر به دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی
- تبدیل روش‌های تک‌گامی حل معادلات دیفرانسیل خطی به روش‌های عددی قابل استفاده برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی
- حل عددی دستگاه معادلات خطی (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر حل دستگاه معادلات خطی
- مقدمه‌ای بر ماتریس‌ها
- روش‌های مستقیم حل دستگاه معادلات خطی شامل روش ماتریس معکوس، روش کرامر، روش حذف گاوسی (پیشرو، پسرو و گاوس-جردن)، روش تجزیه مثلثاتی (LU چولسکی، دولیتل و کروت)
- روش‌های تکرارشونده شامل روش ژاکوبی و روش گاوس-سایدل
- مقادیر ویژه و بردار ویژه، روش توانی برای یافتن تخمینی از مقدار ویژه‌ی غالب و بردار ویژه‌ی متناظر با آن، و قضیه گرچ گورین
ارزیابی پیشنهادی
- آزمون: آزمون‌های میان‌ترم و پایان‌ترم (۵۰% کل نمره)
- تمرین: ۶ تمرین نظری (حل مسائل علمی با روش‌های عددی)، ۶ تمرین عملی با محیط نرم‌افزاری معرفی شده؛ تمرینات در طول نیم‌سال تحویل داده می‌شوند (۴۰% کل نمره).
- پروژه: موضوع پروژه با کمک استاد انتخاب می‌شود. پروژه می‌تواند پژوهشی و یا عملی (با استفاده از ابزار معرفی شده) باشد. پس از انجام کار، نتیجه‌ی پروژه‌ی پژوهشی در قالب گزارش ارائه داده می‌شود. لازم به ذکر است که برای مسلط‌تر شدن به ابزار معرفی شده در درس، ترجیح آن است که پروژه عملی باشد. همچنین پروژه‌های گروهی چنانچه به صورت دقیق تعریف شوند، می‌توانند بر توانایی‌های کار گروهی دانشجویان نیز تاثیر مثبت قابل توجهی داشته باشند (۱۰٪ کل نمره).
منابع پیشنهادی
- S. Pal. Numerical Methods Principles, Analysis and Algorithms. Oxford University Press, 2010.
- J. Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with Python 3. 3rd Edition, Cambridge University Press, 2014.
- J. Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with MATLAB. 3rd edition, Cambridge University Press, 2015.
- C. B. Moler. Numerical Computing with MATLAB. MathWorks, 2013.