معادلات دیفرانسیل

Differential Equations

مقطع: کارشناسی گرایش: –
نوع درس: نظری تعداد واحد: ۳
پیش‌نیاز: – هم‌نیاز: ریاضی عمومی ۲

هدف کلی

هدف از این درس، آشنایی دانش‌جویان با معادلات دیفرانسیل به‌وسیله‌ی روش‌های تحلیلی، هندسی و کیفی است.

سرفصل‌ها

  1. مقدمه (۱ جلسه)
    • نکات کلی در مورد جواب‌های معادلات دیفرانسیل، دسته‌بندی معادلات دیفرانسیل، قضیه‌ی وجود و یکتایی جواب
  2. معادلات مرتبه‌ی اول (۷ جلسه)
    • معادلات جدایی‌پذیر، معادلات همگن، معادلات قابل تبدیل به معادلات همگن، معادلات کامل، فاکتورهای انتگرال، معادلات خطی مرتبه‌ی اول، معادلات غیرخطی مهم (برنولی، لاگرانژ و …)، دسته‌های منحنی، مسیر‌های قائم، مدل‌سازی معادلات مرتبه‌ی اول
  3. معادلات مرتبه‌ی دوم (۸ جلسه)
    • کاهش مرتبه، مفاهیم مقدماتی لازم معادلات خطی، معرفی جواب عمومی معادله خطی همگن و غیرهمگن، استفاده از یک جواب معلوم برای یافتن جوابی دیگر، معادلات خطی همگن با ضرایب ثابت (مرتبه‌ی دوم و بالاتر)، معادلات خطی غیرهمگن، روش‌های عملگری معادلات با ضرایب غیرثابت (معادلات کوشی، اویلر، …)،  نظریه‌ی مقدماتی معادلات با شرایط مرزی (مقادیر و توابع ویژه و …)
  4. جواب‌های سری توانی و توابع خاص (۶ جلسه)
    • مروری بر سری‌های توانی، جواب‌ها حول نقاط عادی، معادله‌ی لژاندر، چندجمله‌ای‌های لژاندر، خواص چندجمله‌ای‌های لژاندر، جواب‌ها حول نقاط غیرعادی (روش فروبنیوس)، معادله‌ی بسل، تابع گاما خواص تابع بسل
  5. تبدیل لاپلاس و کاربردهای آن (۶ جلسه)
    • معرفی تبدیل لاپلاس، موارد کاربرد در معادلات دیفرانسیل، مشتق و انتگرال تبدیل لاپلاس، معرفی پیچش (کانولوشن)، معرفی معادلات انتگرالی، حل دستگاه خطی با تبدیل لاپلاس
  6. دستگاه‌های معادلات خطی (۲ جلسه)
    •  معرفی دستگاه‌های خطی، حل دستگاه‌های خطی همگن و غیرهمگن با ضرایب ثابت، روش‌های مقادیر و توابع ویژه

ارزیابی پیشنهادی

  • تمرین‌ها و فعالیت کلاسی: ۳۰٪ نمره
  • آزمون‌های میان‌ترم و پایانی: ۷۰٪ نمره

منابع پیشنهادی

  1. M. Braun. Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics. 4th Edition, Springer, 1993.
  2. W. E. Boyce, R. C. Diprima, and D. B. Meade. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. 11th Edition, Wiley, 2017.
  3. H. C. Edwards and D. E. Penney. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. 6th Edition, Prentice Hall, 2003.
  4. D. V. Kalbaugh. Differential Equations for Engineers: The Essentials. CRC Press, 2017.