محاسبات عددی

Numerical Computations

مقطع: کارشناسی	گرایش: نرم‌افزار
نوع درس: نظری	تعداد واحد: ۳
پیش‌نیاز: معادلات دیفرانسیل	هم‌نیاز: –

هدف کلی

هدف این درس، آشنا کردن دانشجویان کارشناسی با روش‌های عددی حل مسائل علمی رشته‌های مختلف علوم و مهندسی است. این روش‌ها می‌توانند مسائل علمی رشته‌های مختلف را که محاسبه‌ی دقیق آن‌ها با روش‌های معمول ریاضی مقدور نمی‌باشد، به صورت تقریبی و با خطای محدود، تخمین بزنند. همچنین در مسائلی که حل آن‌ها با روش‌های ریاضی ممکن بوده ولی از پیچیدگی بسیار بالایی برخوردار است، روش‌های عددی کارآمدی در این درس به دانشجویان آموزش داده می‌شود.

سرفصل‌ها

آشنایی با ابزارها (۲ جلسه)
- معرفی ابزارهای نرم‌افزاری مورد استفاده، مانند MATLAB یا Python
- محاسبات مربوط به ماتریس‌ها
- بردارها و ترسیم
- فایل‌ها و تعریف توابع
- آشنایی با برخی توابع داخلی ابزار مورد نظر
خطاها (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر خطاها
- سیستم ممیز شناور
- منشأ خطاها
- خطاهای نسبی و مطلق
- خطاهای گرد کردن، ذاتی و برشی
- انتشار خطا و گراف فرایند
- ناپایداری در محاسبات عددی
حل عددی معادلات غیرخطی (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر پیدا کردن ریشه‌های تابع تک‌متغیره غیرخطی
- روش تنصیف
- روش نابه‌جایی
- روش وتری یا خط قاطع
- روش نیوتن-رافسون
- روش تکرار ساده یا نقطه ثابت
- نرخ همگرایی روش‌های مختلف
- شرط‌های لازم/کافی برای همگرایی روش‌های نیوتن-رافسون، روش وتری و روش تکرار ساده
- روش هرنر برای محاسبه مقدار چندجمله‌ای
- روش تعمیم‌یافتة نیوتن-رافسون برای حل دستگاه معادلات غیرخطی
- اثبات شهودی و ریاضی روش‌های مذکور
درون‌یابی، برون‌یابی و برازش منحنی (۵ جلسه)
- مقدمه‌ای بر درون‌یابی، برون‌یابی و برازش منحنی
- روش‌های مختلف درون‌یابی شامل روش لاگرانژ، روش تفاضلات تقسیم‌شده‌ی نیوتن، روش‌های تفاضلات پیشرو، پسرو و مرکزی نیوتن
- اثبات روش‌های مذکور و تحلیل خطا در آن‌ها
- برازش به چندجمله‌ای‌ها توسط روش کمترین مربعات
- برازش به منحنی‌های مختلف با کمک خطی‌سازی
- برون‌یابی
انتگرال‌گیری و مشتق‌گیری عددی (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر انتگرال‌گیری و مشتق‌گیری عددی
- روش‌های مختلف انتگرال‌گیری عددی شامل روش مستطیلی، روش نقطه میانی، روش ذوزنقه‌ای، روش گاوس-لژاندر، روش سیمپسون ۱/۳ و سیمپسون ۳/۸ و روش رامبرگ
- بررسی میزان خطای روش‌های ذکر شده
- اثبات ریاضی و شهودی برای روش‌های مذکور
- مشتق‌گیری عددی با استفاده از روش‌های مختلف شامل روش نقطه‌ میانی، روش تفاضل مرکزی، روش سه‌نقطه‌ای
- تحلیل مرتبه‌ی خطای روش‌های مذکور و استفاده از مفهوم برون‌یابی ریچاردسون برای بهبود نتایج مشتق‌گیری عددی
حل معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل
- روش‌های تک‌گامی شامل روش تیلور، روش اویلر، روش اویلر اصلاح شده، روش‌های رانگ-کوتا مرتبه ۲ (روش هیون، نقطه میانی و اصلاح‌شدۀ اویلر)، رانگ-کوتا مرتبه ۳ و رانگ-کوتا مرتبه ۴
- روش‌های چندگامی مانند روش آدامز-مولتون
- تحلیل خطای روش‌های مذکور و مقایسه آن‌ها
- تبدیل معادلات دیفرانسیل درجات بالاتر به دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی
- تبدیل روش‌های تک‌گامی حل معادلات دیفرانسیل خطی به روش‌های عددی قابل استفاده برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی
حل عددی دستگاه معادلات خطی (۴ جلسه)
- مقدمه‌ای بر حل دستگاه معادلات خطی
- مقدمه‌ای بر ماتریس‌ها
- روش‌های مستقیم حل دستگاه معادلات خطی شامل روش ماتریس معکوس، روش کرامر، روش حذف گاوسی (پیشرو، پسرو و گاوس-جردن)، روش تجزیه مثلثاتی (LU چولسکی، دولیتل و کروت)
- روش‌های تکرارشونده شامل روش ژاکوبی و روش گاوس-سایدل
- مقادیر ویژه و بردار ویژه، روش توانی برای یافتن تخمینی از مقدار ویژه‌ی غالب و بردار ویژه‌ی متناظر با آن، و قضیه گرچ گورین

ارزیابی پیشنهادی

آزمون: آزمون‌های میان‌ترم و پایان‌ترم (۵۰٪ کل نمره)
تمرین: ۶ تمرین نظری (حل مسائل علمی با روش‌های عددی)، ۶ تمرین عملی با محیط نرم‌افزاری معرفی شده (۴۰٪ کل نمره).
پروژه: عملی یا نظری (۱۰٪ کل نمره).

منابع پیشنهادی

S. Pal. Numerical Methods: Principles, Analysis and Algorithms. Oxford University Press, 2010.
J. Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with Python 3. 3rd Edition, Cambridge University Press, 2014.
J. Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with MATLAB. Cambridge University Press, 2015.
C. B. Moler. Numerical Computing with MATLAB. 2nd Edition, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2010.