ریاضیات گسسته

Discrete Mathematics

مقطع: کارشناسی	گرایش: نرم‌افزار
نوع درس: نظری	تعداد واحد: ۳
پیش‌نیاز: –	هم‌نیاز: –

هدف کلی

هدف از این درس، آشنایی دانشجویان با مفاهیم، ساختارها، و تکنیک‌هایی در ریاضیات گسسته است، که به‌طور گسترده در علوم و مهندسی کامپیوتر مورد استفاده قرار می‌گیرند. ایجاد مهارت‌های زیربنایی از جمله فهم و ساخت اثبات‌های دقیق ریاضی، تفکر خلاقانه در حل مسائل، آشنایی با نتایج اولیه در منطق، ترکیبیات، نظریه‌ی اعداد، نظریه‌ی گراف‌ها و نظریه‌ی محاسبات، و نیز فراهم آوردن پیش‌نیاز ریاضی موردنیاز برای بسیاری دیگر از دروس ارائه‌شده در گرایش‌های مختلف مهندسی و علم کامپیوتر، از اهداف این درس به شمار می‌رود.

سرفصل‌ها

منطق (۳ جلسه)
- اصول اولیه‌ی منطق، گزاره‌ها، گزاره‌های هم‌ارز
- گزاره‌نماها، سورها، اصول استنتاج
- روش‌های اثبات
نظریه‌ی توابع و مجموعه‌ها (۲ جلسه)
- مبانی نظریه‌ی مجموعه‌ها، عملگرهای مجموعه‌ای، مجموعه‌های شمارا و ناشمارا
- توابع یک‌به‌یک و پوشا، ترکیب توابع، معکوس توابع، دنباله‌ها
نظریه‌ی اعداد (۲ جلسه)
- بخش‌پذیری، همنهشتی، محاسبات پیمانه‌ای
- اعداد اول، قضیه‌ی اویلر، مقدمه‌ای بر نظریه‌ی رمزنگاری
استقرا (۲ جلسه)
- استقرای ریاضی، اصل خوش‌ترتیبی
- استقرای قوی، استقرای ساختاری
شمارش (۴ جلسه)
- اصول اولیه‌ی شمارش، جایگشت و ترکیب
- ضرایب دوجمله‌ای، جایگشت‌ها و ترکیب‌های باتکرار
- اصل طرد و شمول، توزیع اشیاء درون جعبه‌ها
- اصل لانه‌ کبوتری
احتمالات گسسته (۲ جلسه)
- نظریه‌ی احتمالات، تابع توزیع احتمال، احتمالات شرطی
- متغیرهای تصادفی، امید ریاضی، واریانس
روابط بازگشتی (۳ جلسه)
- مسائل بازگشتی
- حل روابط بازگشتی (همگن و غیرهمگن)
- توابع مولد
رابطه‌ها (۲ جلسه)
- رابطه‌ها و خواص آن‌ها، نمایش رابطه‌ها، ترکیب روابط
- رابطه‌ها‌ی هم‌ارزی، بستارها
ترتیب جزیی و جبر بول (۲ جلسه)
- مجموعه‌های با ترتیب جزیی، نمودار هاس، مرتب‌سازی توپولوژیکی
- مشبکه‌ها، جبر بول، خواص جبر بول
گراف‌ها (۳ جلسه)
- تعاریف اولیه، گراف‌های خاص، گراف‌های دوبخشی، نمایش گراف‌ها، یک‌ریختی گراف‌ها
- مسیرها و همبندی، مسیرهای اویلری و همیلتنی
- گراف‌های مسطح، قضیه‌ی اویلر، رنگ‌آمیزی گراف‌ها
درخت‌ها (۱ جلسه)
- درخت‌ها و جنگل‌ها، درخت‌های خاص، درخت‌های ریشه‌دار، درخت‌های پوشا
ساختارهای جبری (۱ جلسه، اختیاری)
- تکواره‌ها، حلقه‌ها، گروه‌ها، گروه‌ها آبلی
مدل‌سازی محاسبات (۳ جلسه)
- زبان‌ها و گرامرها، ماشین‌های حالت‌متناهی
- تشخیص زبان‌ها، زبان‌های منظم
- ماشین تورینگ (اختیاری)

ارزیابی پیشنهادی

تمرین نظری: ۱۵٪ نمره
آزمون‌ها (میان‌ترم، پایان‌ترم و آزمونک‌ها): ۸۵٪ نمره

منابع پیشنهادی

K. H. Rosen. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th Edition, McGraw Hill, 2018.
R. P. Grimaldi. Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. 5th Edition, Pearson Addison Wesley, 2004.
A. Engel. Problem-Solving Strategies. Springer, 1998.